24个基本求导公式

在微积分中，求导是一个重要的概念，涉及到函数变化率的计算。以下是24个基本求导公式的介绍，这些公式为求解各种函数的导数提供了基础。

1. 导数定义

导数的定义:

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}f′(x)=limh→0​hf(x+h)−f(x)​

2. 基本求导公式

常数函数:

f(x)=a⇒f′(x)=0f(x)=a\Rightarrow f'(x)=0f(x)=a⇒f′(x)=0

幂函数:

当 nnn 为正整数:

f(x)=xn⇒f′(x)=nxn−1f(x)=x^n\Rightarrow f'(x)=nx^{n-1}f(x)=xn⇒f′(x)=nxn−1

当 aaa 为任意实数:

f(x)=xa⇒f′(x)=axa−1f(x)=x^a\Rightarrow f'(x)=ax^{a-1}f(x)=xa⇒f′(x)=axa−1

指数函数:

f(x)=ax⇒f′(x)=axln⁡a，a>0，a≠1f(x)=a^x\Rightarrow f'(x)=a^x\ln a，\quad a>0，a\neq 1f(x)=ax⇒f′(x)=axlna，a>0，a=1

对数函数:

f(x)=log⁡ax⇒f′(x)=1xln⁡a，a>0，a≠1f(x)=\log_a x\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x\ln a}，\quad a>0，a\neq 1f(x)=loga​x⇒f′(x)=xlna1​，a>0，a=1

三角函数:

正弦函数:

f(x)=sin⁡x⇒f′(x)=cos⁡xf(x)=\sin x\Rightarrow f'(x)=\cos xf(x)=sinx⇒f′(x)=cosx

余弦函数:

f(x)=cos⁡x⇒f′(x)=−sin⁡xf(x)=\cos x\Rightarrow f'(x)=-\sin xf(x)=cosx⇒f′(x)=−sinx

正切函数:

f(x)=tan⁡x⇒f′(x)=sec⁡2xf(x)=\tan x\Rightarrow f'(x)=\sec^2xf(x)=tanx⇒f′(x)=sec2x

反三角函数:

反正弦函数:

f(x)=arcsin⁡x⇒f′(x)=11−x2f(x)=\arcsin x\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}f(x)=arcsinx⇒f′(x)=1−x2​1​

反余弦函数:

f(x)=arccos⁡x⇒f′(x)=−11−x2f(x)=\arccos x\Rightarrow f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}f(x)=arccosx⇒f′(x)=−1−x2​1​

反正切函数:

f(x)=arctan⁡x⇒f′(x)=11+x2f(x)=\arctan x\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{1+x^2}f(x)=arctanx⇒f′(x)=1+x21​

3. 导数运算法则

和的导数:

(f+g)′=f′+g′(f+g)'=f'+g'(f+g)′=f′+g′

差的导数:

(f−g)′=f′−g′(f-g)'=f'-g'(f−g)′=f′−g′

积的导数:

(fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg'(fg)′=f′g+fg′

商的导数:

(f/g)′=f′g−fg′g2(f/g)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}(f/g)′=g2f′g−fg′​

复合函数的导数（链式法则）:

(f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x)(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)(f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x)

倒数的导数:

(1/f)′=−f′f2(1/f)'=-\frac{f'}{f^2}(1/f)′=−f2f′​

反函数的导数:

(f−1(y))′=1f′(x)(f^{-1}(y))'=\frac{1}{f'(x)}(f−1(y))′=f′(x)1​

4. 总结

这些基本求导公式为我们提供了计算各种类型函数导数的工具。掌握这些公式不仅能帮助解决数学问题，还能在物理、工程等领域中应用，分析变化率和趋势。